اشکال فراکتالی

دانشنامه اینترنتی علوم DEO

فرکتال ، یا فراکتال (Fractal) یا بَرخال [۱] ساختاری هندسی است متشکل از اجزایی که با بزرگ کردن هر جزء به نسبت معین، همان ساختار اولیه به دست آید. به عبارتی دیگر برخال ساختاری است که هر جزء از آن با کلش همانند است. فراکتال‌ها شکل‌هایی هستند که بر خلاف شکل‌های هندسی اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند. این شکل‌ها اولاً سرتاسر نامنظم اند، ثانیاً میزان بی نظمی آنها در همه مقیاسها یکسان است و جسم فراکتال از دور ونزدیک یکسان دیده می‌شود. به تعبییر دیگر خودمتشابه است. [۱] از فراکتالها به عنوان یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه‌ای نام می‌برند، اما هنگام پیدایش این مفهوم جدید بیشترین نقش را در فشرده سازی فایلهای تصویری بازی می‌کنند.

وجه تسمیه

از لحاظ واژه مندلبرات انتخاب اصطلاح فرکتال fractal را از واژه لاتین fractus یا fractum به معنی شکسته گرفت تا بر ماهیت قطعه قطعه شونده که یکی از مشخصه‌های اصلی این فرم است، تاکید داشته باشد واژه فرکتال به معنای سنگی است که به شکل نامنظم شکسته شده باشد.

پیشنهاد فرهنگستان زبان فارسی

فرهنگستان زبان فارسی واژه برخال را تصویب کرده و همچنین برای واژه فرکتالی واژه برخالی را تصویب کرده است که از واژه برخ به معنی بخش و قسمت و پسوند -ال (مانند چنگال) تشکیل شده‌است و با واژه فراکتال هم‌معنی است. [۱]

واژه فرکتال در سال ۱۹۷۶ توسط ریاضیدان لهستانی به نام بنوئیت مندلبرات وارد دنیای ریاضیات شد. او در سال ۱۹۸۷ پرفسوری خود را در رشته ریاضیات گرفت. مندل برات وقتی که بر روی تحقیقی پیرامون طول سواحل انگلیس مطالعه می‌نمود به این نتیجه رسید که هر گاه با مقیاس بزرگ این طول اندازه گرفته شود بیشتر از زمانی است که مقیاس کوچکتر باشد.

مندل برات اعلام کرده که اشکال فراکتالی ابرها به صورت کره نیستند، کوهها همانند مخروط نمی‌باشند، سواحل دریا دایره شکل نیستند، پوست درخت صاف نیست و صاعقه بصورت خط مستقیم حرکت نمی‌کند.

تعریف فراکتال

هندسهٔ اقلیدسی - احجام کامل کره‌ها و هرم‌ها و مکعب‌ها و استوانه‌ها بهترین راه نشان دادن عناصر طبیعی نیستند. ابرها و کوه‌ها و خط ساحلی و تنهٔ درختان همه با احجام اقلیدسی در تضاد هستند و نه صاف بلکه ناهموار هستند و این بی نظمی را در مقیاس‌های کوچک نیز به ارمغان می‌آورند که یکی از مهمترین خصوصیات فراکتال‌ها همین است. این بدین معناست که هندسهٔ فراکتال بر خلاف هندسهٔ اقلیدسی روش بهتری را برای توضیح و ایجاد پدیده‌هایی همانند طبیعت است. زبانی که این هندسه به وسیلهٔ آن بیان می‌شود الگوریتم نام دارد که با اشیا مرکب می‌توانند به فرمولها و قوانین ساده تری ترجمه و خلاصه شوند.

خصوصیات اشکال فرکتال

• فوق‌العاده و غیرمنتظره است.
• تکامل هم‌زمان دارد.
• جایگزینی بهینه.
• ضرورت به تنوع دارد.
• دارای قوانین ساده می‌باشد.
• در شکل‌گیری فرم از تکرار استفاده می‌شود.
• دارای تنوع می‌باشد.
• سیستمی تو در تو است.
• اشکال اقلیدسی با استفاده از توابع ایستا تولید می‌شوند ولی اشکال فرکتال با فرآیندهای پویا تولید می‌شوند. فرآیندهای پویا، فرآیندهایی هستند که دارای حافظه می‌باشند و رفتار آنها به گذشته بستگی دارد.
• اشکال فرکتال دارای خاصیت خود همانندی است. طول این اشیا بی‌نهایت است که در فضای محدود، محصور شده‌اند.
• مجموعه‌های فرکتال، از زیر مجموعه‌هایی تشکیل شده‌اند که این زیر مجموعه‌ها شبیه مجموعه‌های بزرگتر هستند.
• هندسه فرکتال دارای ساختارهای ظرفیتی بالاست ولی ظرفیت اطلاعاتی اشیای اقلیدسی بسیار محدود و حاوی اطلاعات تکراری است.
• هندسه فرکتال، بیان ریاضی از معماری طبیعت است.
• هر فرایند تکراری و پویا باعث ایجاد ساختارهای پیچیده فرکتال نمی‌شود. مکانیزم تولید چنین ساختارهای پویایی، آشوب است. در حقیقت، فرکتال تصویر ریاضی از آشوب است.

هندسه فرکتال

در این قسمت از دید ریاضی به فرکتال نگاه می‌شود که بیشتر مورد توجه ریاضی‌دان‌ها قرار گرفته اما پایه‌های قسمت‌های بعدی نیز می‌باشد، و تا با عناصر اصلی فرکتال و چگونگی ایجاد این فرم آشنا نشویم نمی‌توان فرم‌های مختلف و حجم‌های مختلف را شناسایی کرد.

فرکتال از دید هندسی به شیئی گویند که دارای سه ویژگی زیر هستند:

• دارای خاصیت خود متشابهی باشد یا به تعبیر دیگر self-similar باشد
• در مقیاس خرد بسیار پیچیده باشد.
• بعد آن یک عدد صحیح نباشد مثلاً ۱٫۵

محاسبه بعد فرکتال‌ها

اگر بگوییم بعد خط، برابر یک باشد و نیز بعد صفحه، برابر دو باشد. همچنن بعد فضا با عدد سه معرفی شود اما فرکتالها بر خلاف همهٔ اینها بعد صحیح ندارند. بعد فرکتالها یک عدد کسری می‌باشد وقتی که گفته می‌شود بعد یک فرکتال ۱٫۲ می‌باشد این بدین معنی است از خط پیچیده تر و از صفحه سادتر است. محاسبه این بعد از یک سری فرمول‌های لگاریتمی بدست می‌آید که بررسی آن از حوصله این بحث خارج است. در اشکال زیر تنها به عدد بدست آمده اشاره می‌شود. درعین پیچیدگی که فرم‌های فرکتال دارند نباید فراموش کرد که فرکتال یک هندسه است. و از انجام محاسبات هندسی بدست می‌آید.

فرم فرکتال

زمانی که به اطراف خود نگاه می‌کنیم می‌توان از کوچکترین عناصر طبیعی تا بزرگترین اشیای خلقت، مثالی را که دارای فرمی فرکتال هستند را مطرح کرد به طوری که مشخصه‌های هندسی فرکتال را دارا می‌باشند. برای وارد شدن به این بازه عظیم زمان زیادی را می‌خواهد که نمی‌توان آن را در یک مقاله محدود مطرح کرد. لذا بنا بر این شد که فرم‌های شاخص در هندسه فرکتال را انتخاب و مطرح کنم. فرم‌هایی که به صورت‌های مختلف وجود دارند، بعضی به صورت طبیعی و برخی دیگر ساخته شده از اشکال غیر طبیعی هستند

سیستم ساختاری تکرار

این سیستم که دارای علامت اختصاری IFS - Iterated Function System - است، سیستم تکرار را مطرح می‌کند که به نوعی پایهٔ هندسه فرکتال است. تکرار یکی از راه‌های ایجاد فرم در معماری است اما در فرکتال این فرم بایستی دارای مشخصات هندسی که در قسمت هندسه فرکتال مطرح شد را دارا باشد. به طور کلی این تکرار می‌تواند از کنار هم قرار گرفتن یک شیء بدست آید و یا اینکه یک موضوع نسبت به موضوع دیگر و به طور متوالی کوچک شود.

شیئی را دارای خاصیت خود متشابهی می‌گوییم که هر گاه قسمت‌هایی از آن با یک مقیاس معلوم، یک نمونه از کل شیئی باشد. ساده ترین مثال برای یک شیئ خود متشابه در طبیعت گل کلم است که هر قطعهٔ کوچک گل کلم متشابه قطعه بزرگی از آن است. همین طور درخت کاج یک شیئ خود متشابه است، چرا که هر یک از شاخه‌های آن خیلی شبیه یک درخت کاج است ولی در مقیاس بسیار کوچکتر. همچنین در مورد برگ سرخس نیز چنین خاصیتی وجود دارد.

رشته کوه‌ها، پشته‌های ابر، مسیر رودخانه‌ها و خطوط ساحلی نیز همگی مثالهایی از یک ساختمان خود متشابه هستند. فراکتال شکل هندسی پیچیده است که دارای جزییات مشابه در ساختار خود در مقیاسهای متفاوت می‌باشد و بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک اندازه است.

جسم فراکتال از دور و نزدیک یکسان دیده می‌شود. مثلا وقتی به یک کوه نگاه می‌کنیم شکلی شبیه به یک مخروط می‌بینیم که روی آن مخروطهای کوچکتر و بی نظمی دیده می‌شود ولی وقتی نزدیک می‌شویم همین مخروطهای کوچک شبیه کوه هستند و یا شاخه‌های یک درخت شبیه خود درخت هستند. البته در طبیعت نمونه‌های اجسام فراکتال فراوان است مثلا ابرها -رودها -سرخس‌ها و حتی گل کلم از اجسام فراکتال است. و اگر به ساخته‌های دست بشر هم نگاه کنیم تراشه‌های سیلیکان و یا مثلث سرپینسکی نیز فراکتال هستند. و در معماری همیشه نباید نیاز بشر را هندسه اقلیدسی تامین کند. گسترش شهرها نمونه آشکاری از فراکتال است.

این فرم‌ها که به صورت طبیعی وجود دارند دارای ساختاری خود متشابه هستند حتی در مقیاس میکروسکپی یک‌دانه برف دارای فرمی خود متشابه است.

مجموعه‌های مندلبرو دارای پیچیدگی خاصی هستند. زمانی که یک فرم حالتی پیچیده پیدا می‌کند و یا به عبارت دیگر به عناصر خرد تشکیل دهنده کل می‌رسد، فرم‌هایی بسیار پیچیده اما در عین حال منظمی را به ما می‌دهد که در اشکال زیر و نمونه‌های پیش فرض و آماده در فرکتال اکسپلورر گذاشته شده است.

فرکتال در مناظر طبیعی

این فرم‌ها همانطور که از اسم آنهاپیداست دارای فرمی طبیعی هستند (عدم دستبرد دست بشر). شاید بسیار در عکاسی معماری (برای عکس از یک سوژه) به یک منظره برخورد کرده باشید که در دوردست تپه‌ها و کوه‌ها دیده می‌شوند، بد نیست بدانید که خود این منظره دارای فرمی فرکتال با هندسه فرکتال قابل حل است.

الگوهای رویش برخالی

ایده خود متشابه در اصل توسط لایبنیتس بسط داده شد. او حتی بسیاری از جزئیات را حل کرد. در سال ۱۸۷۲ کارل وایرشتراس مثالی از تابعی را پیدا کرد با ویژگیهای غیر بصری که در همه جا پیوسته بود ولی در هر جا مشتق پذیر نبود. گراف این تابع اکنون برخال نامیده می‌شود. در سال ۱۹۰۴ هلگه فون کخ به همراه خلاصه‌ای از تعریف تحلیلی وایرشتراس، تعریف هندسی‌تری از تابع متشابه ارائه داد که حالا به برفدانه کخ معروف است. در سال ۱۹۱۵ واکلو سرپینسکی مثلثش را و سال بعد فرش‌اش (برخالی) را ساخت. ایده منحنیهای خود متشابه توسط پاول پیر لوی مطرح شد او در مقاله اش در سال ۱۹۳۸ با عنوان «سطح یا منحنیهای فضایی و سطوحی شامل بخش‌های متشابه نسبت به کل» منحنی برخالی جدیدی را توصیف کرد منحنی لوی c. گئورگ کانتور مثالی از زیرمجموعه‌های خط حقیقی با ویژگیهای معمول ارائه داد. این مجموعه‌های کانتور اکنون به‌عنوان برخال شناخته می‌شوند. اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم توابع تکرار شونده در سطح پیچیده توسط هانری پوانکاره، فلیکس کلاین، پیر فاتو و گاستون جولیا شناخته شده بودند. با این وجود بدون اشکال فراکتالی کمک گرافیک رایانه‌ای آنها نسبت به نمایش زیبایی بسیاری از اشیایی که کشف کرده بودند، فاقد معنی بودند. در سال ۱۹۶۰ بنوا مندلبرو تحقیقاتی را در شناخت خودهمانندی طی مقاله‌ای با عنوان «طول ساحل بریتانیا چقدر است؟ خود متشابه‌ای آماری و بعد کسری» آغاز کرد. این کارها بر اساس کارهای پیشین ریچاردسون استوار بود. در سال ۱۹۷۵ مندلبرو برای مشخص کردن شئی که بعد هاوسدورف-بیسکویچ آن بزرگ‌تر از بعد توپولوژیک آن است کلمه «فراکتال» (برخال) را ابداع کرد. او این تعریف ریاضی را از طریق شبیه‌سازی خاص رایانه‌ای تشریح کرد.

برخال‌ها از نظر روش مطالعه به برخالهای جبری و بر خالهای احتمالاتی تقسیم می‌شوند. از طرف دیگر برخال‌ها یا خودهمانند اند self similarity یا خودناهمگرد self affinity هستند. در خودهمانندی، شکل جزء شباهت محسوسی به شکل کل دارد. این جزء، در همه جهات به نسبت ثابتی رشد می‌کند و کل را به وجود می‌آورد. اما در خودناهمگردی شکل جزء در همه جهات به نسبت ثابتی رشد نمی‌کند. مثلاً در مورد رودخانه‌ها وحوضه‌های آبریز بعد برخالی طولی متفاوت از بعد برخالی عرضی است Vx = ۰. ۷۲-۰. ۷۴ و Vy = ۰. ۵۱-۰. ۵۲ (ساپوژنیکوف و فوفولا،۱۹۹۳) از این‌رو شکل حوضه آبریز کشیده‌تر از زیر حوضه‌های درون حوضه‌است. به خودهمانندی همسانگرد isotropy می‌گویند. به خود ناهمگردی ناهمسانگرد anisotropy می‌گویند.

طبقه‌بندی

برخال‌ها همچنین بر اساس خود همانندی طبقه بندی می‌شوند. سه نوع خود همانندی وجود دارد:

• خود همانندی دقیق – این قوی‌ترین نوع خود همانندی است؛

گسترش رو به رشد رویکرد تک‌برخالی (مونوفراکتالی) اخیر، داده‌ها را با مجموعه برخالی، بجای بعد منفرد برخالی توصیف می‌کند. این مجموعه طیف چندبرخالی multifractal spectrum نامیده می‌شود و روش توصیف تغییرپذیری بر اساس طیف‌سنجی چندبرخالی به آنالیز چندبرخالی معروف است (فریش و پاریسی، ۱۹۸۵). روش چند برخالی به اندازه خودهمانندی آماری دلالت اشکال فراکتالی دارد که می‌تواند به صورت ترکیبی از مجموعه‌های به‌هم‌تنیده برخالی [۲] مطابق با نمای مقیاس گذاری نمایش داده شود. ترکیبی از همه مجموعه‌های برخالی طیف چند برخالی‌ای را ایجاد می‌کند که تغییر پذیری و ناهمگنی متغیر مورد مطالعه را مشخص می‌کند. مزیت رویکرد چند برخالی‌این است که پارامترهای چندبرخالی می‌توانند مستقل از اندازه موضوع مورد مطالعه باشند. [۳]

کاربردها

از برخال‌ها به منظور تسهیل در امور مربوط به مدل‌سازی پیچیدگی در زمینه‌های گوناگون علمی و مهندسی استفاده به عمل می‌آید. از جملهٔ زمینه‌های مهم کاربردی موارد زیر را می‌توان برشمرد:

رابطه فراکتال و معماری

انسانها در روزگار قدیم که در طبیعت می‌زیستند و مانند انسان دوره مدرن، با طبیعت بیگانه نبودند، معماریشان با نظم طبیعت بود. آنها به این دلیل که در طبیعت رشد می‌افتند، ضمیر ناخودآگاهشان نیز با نظم طبیعت- یعنی با نظم فراکتال- رشد میافت، در نتیجه مصنوعاتش نیز دارای نطم فراکتال می‌بود.

مطالعه هندسه باید به طراح کمک کند به درک بهتری از جریان جزئیات در پیرامون ما و جهان طبیعی دست یابد. خصوصیت فراکتالی یک ترکیب معماری در تسلسل جالب جزئیات است. این تسلسل برای حفظ جذابیت معماری لازم است. هنگامی که شخص به یک ساختمان نزدیک و سپس به آن وارد می‌شود همیشه باید مقیاس کوچکتر دیگری همراه با جزئیات جذاب وجود داشته باشد تا معنای کلی ترکیب را بیان کند که این یک ایده فراکتال است. [۴] [۵] [۶]

فرکتال و هنر

در هنر دوران‌های مختلف ساختارها و فرم‌ها و حتی نقاشی‌های مختلفی را از فرکتال می‌بینیم. در این زمینه به ذکر ۲ نمونه اکتفا می‌کنم.

• فرکتال‌ها در هنر آفریقا
• فرکتال را در آثار نقاشانی چون جکسون پالاک و لاری پونز

توجه
این وب سایت یک دانشنامه اینترنتی است که توسط کاربران
تکمیل می شود.مخاطبان سایت می توانند با مراجعه به ایمیل:[email protected] مطالب خود را در هر زمینه ای در رابطه با علوم (با ذکر نام خود و منبع) به deo ارسال نمایند.
برای قرار دادن تبلیغات در سایت از طریق ایمیل با ما در ارتباط باشید.

بررسی آشفتگی در میکرولندفرمهای پلایای میقان با استفاده از روش فراکتال

خشک شدن رسوبات ریزدانه و رسی در محیط پلایاها موجب ایجاد تنش های انقباضی و تشکیل ترک­ها و بدنبال آن شکل گیری پلیگون­های گلی می­شود. از آنجا که عوامل متعددی همچون میزان رطوبت، میزان دما، نوع کانی‌های رسی، توپوگرافی، میزان شوری آب و آشفتگی زیستی در چگونگی توزیع و تحول مورفومتری این چندوجهی­ها تأثیرگذار است، بنابراین بررسی خصوصیات فراکتال این اشکال می‌تواند روند تغییرات آنها را در واکنش به شرایط محیطی آشکار سازد. مطالعه حاضر با هدف بررسی الگوی آشوب میکرولندفرم­های موجود در بخش غربی پلایای میقان انجام پذیرفته است. بر این اساس از حدود 300 پلیگون رسی در خرداد ماه 1396 از طریق مشاهده میدانی به منظور اعمال مدل ژئوفراکتال، عکسبرداری شد. سپس به کمک نرم افزار AutoCAD، محیط و مساحت هر میکروفرم به دقت اندازه­گیری گردید و ابعاد فراکتالی محیط و مساحت و مقادیر D_Ap در نرم‌افزار Excel محاسبه شدند. براساس نتایج، الگوی پلیگون­های رسی، سه رده آشوب متوسط، زیاد و خیلی زیاد با مقادیر D_Ap به میزان 73/1، 91/1 و 08/2 را نشان داد. بنابراین می­توان ادعا کرد از سویی تحولات کوتاه­مدت، باعث آشفتگی پلیگون­های گلی در منطقه گردیده‌است و از سوی دیگر، شدت تغییرات این شکل­ها که احتمالا ناشی از کاهش رطوبت، افزایش غلظت رسوب و تجمع نمک در لبه‌ها و بالاآمدگی حواشی می‌باشد، نسبت به تغییرات مساحت آنها بیشتر بوده است. چنین پدیده ای نشان دهنده هندسه نامتناهی ابعاد فراکتالی محیط پلیگون­های رسی در پلایای میقان می‌باشد.

کلیدواژه‌ها

20.1001.1.2345332.1398.7.1.1.9

عنوان مقاله [English]

Investigation of Turbulence in Micro-landforms of Meyghan Playa Using the Fractal Method

نویسندگان [English]

• Bahareh Mirzakhani 1
• Aghail Madadi 2
• Zahra Hejazizadeh 3

Drying of fine sediments and clay in the environment of a playa causes shrinkage stress and the formation of cracks and polygons followed by the formation of the mud polygons. Many factors such as moisture content, temperature, type of clay minerals, topography, salinity, and biotic disturbance affect the distribution and evolution of these multifaceted morphometries. Therefore, the study of the fractal properties of these forms can shed light on the process of their change in response to environmental conditions. The present study was conducted to investigate the pattern of micro-landforms in the western part of Meyghan playa. Based on this, about 300 clay polygons were photographed in June 2018 through field observations to apply the geo-Fractal model. Then, using the AutoCAD software, the perimeter and the area of each microform were accurately measured, and the fractal dimensions of the perimeter and the area as well as the DAP values were calculated by the Excel software. Based on the results, clay polygon patterns showed three classes of moderate, high and very high chaos with the DAP values of 1.73, 1.91 and 2.8 respectively. Therefore, it can be argued that, on the one hand, short-term developments have caused the disturbance of muddy polygons in the region. On the other hand, the intensity of changes in the perimeters of these shapes, which is probably due to the reduced moisture content, increased sediment concentration, salt accumulation on the edges, and margin uplift, was more than the intensity of change in their area. Such a phenomenon reflects the infinite geometry of the fractal dimensions of clay polygonal perimeter in Meyghan playa.

کلیدواژه‌ها [English]

• Chaos
• Playa
• Meyghan
• Fractal Dimension

مراجع

ایزدی، فاطمه، حداد، شمیلا، مشکسار، مریم، (1387)، هندسه فراکتال در ساختارهای معماری، فصلنامه جلوه نقش، تابستان،3، صص 50 – 42.

بمانیان، محمدرضا، لیلیان، محمدرضا، امیرخانی، آرین، (1389)، هندسه فراکتال در ساختارهای هنر و معماری، فصلنامه جلوه نقش، تابستان،3، صص 50-42.

رحمانی، مرتضی، صائبی، فهیمه، علی بخشی، نرجس، (1391)، کاربرد نظریه فرکتال و آشوب در پیش بینی سری­های زمانی، چاپ جهاد دانشگاهی (دانشگاه صنعتی شریف)

رضایی، حامد، امینی، آرش، (1394)، ارزیابی ژئومتریک ترکهای گلی در شکل گیری یکی از رخساره­های رسوبی رسوبات ریز دانه عهد حاضر (مطالعه موردی؛ رسوبات مخازن سد و شمگیر گرگان)، نشریه رخساره های رسوبی، دوره 9، شماره1، صص 130-107.

رضاییان لنگرودی، سعید، لک، راضیه، جهانی، داود، (1395)، مقایسه رخساره­های رسوبی هولوسن پلایاهای حوض سلطان و گرمسار، فصلنامه کواترنری ایران، دوره2، شماره 2، صص 182-167.

فرزین، سعید. حاجی آبادی، رضا، احمدی، محمدحسین، (1394)، کاربرد نظریه آشوب و شبکه عصبی مصنوعی در بررسی و تخمین تبخیر از سطح آب دریاچه­ها، نشریه آب و خاک (علوم و صنایع کشاورزی)، جلد 31، شماره 1، صص 74-61

فرهنگ، مژگان، رضایی، صفیه، (1395)، فرکتال هنر نرم افزاری با نگاه به هندسه محاسباتی و هندسه نقوش، مجله پویش در علوم پایه، دوره دوم، شماره چهارم، صص 25-11.

قهرودی تالی، منیژه، (1396)، چرا دانش مخاطرات؟(ضرورت استفاده از دیدگاه ژئوفرکتال در ردیابی مخاطرات)، مجله مدیریت مخاطرات محیطی، دوره 3، شماره 4، صص 300-297.

قهرودی تالی، منیژه، خدری غریبوند، لادن، (1392)، بررسی آشفتگی در میکرولندفرم­های تالاب گاوخونی، مجله پژوهشی زمین پویا، شماره 2، صص 51-44.

قهرودی تالی، منیژه، علی نوری، خدیجه، (1394)، ردیابی مخاطرات پلایای حوض سلطان با بررسی آشفتگی در میکرولندفرم­ها، دانش مخاطرات، 1 (2):صص 252-241.

کرم، امیر، (1389)، نظریه آشوب، فراکتال(برخال) و سیستم­های غیر خطی در ژئومورفولوژی، فصلنامه جغرافیای طبیعی، شماره 8 ، صص82-67.

مبینی، مهتاب، فتح الهی، نوشین، (1393)، بررسی جایگاه هندسه فراکتال در هنر و چگونگی ظهور آن در هنرهای تجسمی، فصلنامه دانشکده هنر، دانشگاه شهید چمران اهواز، شماره ششم، صص 23-7.

مستغنی، علیرضا، علیمردانی، محسن، (1395)، واکاوی کاربرد هندسه طبیعت و فرکتال در معماری پارامتریک با بررسی آرایه داخلی گنبد مسجد لطف الله، فصلنامه نامه معماری و شهرسازی، دوره 8، شماره 16، صص 122-103.

مقصودی، مهران، شمسی اشکال فراکتالی پور، علی اکبر، (1395)، پتانسیل سنجی مناطق بهینه توسعه ژئومورفوتوریسم (مطالعه موردی: منطقه مرنجاب در جنوب دریاچه نمک)، مجله پژوهش­های جغرافیای طبیعی، شماره 77، صص 19-1.

Chen, Yanguang. (2009). Analogies between urban hierarchies and river networks: Fractals, symmetry, and self-organized criticality. Chaos, Soliton & Fractals, 40(4).Cheng, Q.; H. Russell D. Sharpe, F. Kenny, and P. Qin.) 2001(.GIS-based statistical and fractal / multifractal analysis of surface stream patterns in the Oak Ridge’s Moraine. Computer Geoscience, 27(5):513–526.

Hassanzadeh Y., Aalami M.T., Farzin S., Sheikholeslami S.R., Hassanzadeh E. (2012). Study of chaotic nature of daily water level fluctuations in Urmia Lake. Journal of Civil Engineering and Environment, 42(1):9-20. (In Persian with English Abstract)

Howari, F.M., Banat, K.M., Abu-Salha, Y.A. (2014). Depositional and diagenetic processes of Qa Khanna Playa,North Jordan basaltic plateau, Jordan, Journal of Asian Earth Sciences, 39(4): 275-284.

Khan S., Ganguly A.R., and Saigal S. (2005). Detection and predictive Modeling of chaos in finite hydrological time series. Nonlinear Processes in Geophysics, 12: 41-53.

Krinsley: D.B., 1970,-A Geomorphological and Paleo climatological of the Playas of Iran, U.S. Geological Survey Interagency Report IR-Military-1, p. 329.

Regonda S.K., Sivakumar V., and Jain A. (2004). Temporal scaling in the river flow: Can it be chaotic? Hydrological Sciences Journal, 49(3):373-385.

Pelletier, J.D. (2002). Fractal Behavior in Space and Time in Simplified Model of Fluvial Landform Evolution". Geomorphology 91.

Selen, F., & Turer, D. (2011). Factors Effecting Mud Crack Formation in Ankara Clay, World Academy of Science, Engineering and Technology, 56: 166- 167.

Solomatine D.P., Velickov S., and Wust J.C. ( 2001). Predicting water levels and currents in اشکال فراکتالی the North Sea using chaos theory and neural networks. p. 1-11. Proceeding of the Congress-International Association for Hydraulic Research, 29th Iahr Congress, and Beijing, China.

Wang Z., Cheng Q, Cao L et al (2006) Fractal modelling of the microstructure property of quartz mylonite during deformation process. Math Geol 39(1):53–68.

Zhao, Z., Guo, Y., Wang, Y., Liu, H., & Zhang, Q. (2014). Growth patterns and dynamics of mud cracks at different digenetic stages and its geological significance. International Journal of Sediment Research, 29: 82-98.

ریاضیات قانون کیهان

مفهوم هندسه فراکتالی بسیار ساده است . این مبحث به دانستن سه مطلب اصلی که در ریاضی دوره دبیرستان آموختیم ، نیاز دارد :

به ساده ترین بیان فراكتال ها :

1- خود همانند هستند و آرایش تكرار شونده دارند.

2- بعد اعشاری دارند.

در مورد این ویژگی ها بعداً توضیح خواهیم داد.

خود همانندی در اشكال هندسی

فراكتال ها خود همانند(خود متشابه) هستند بدین معنی كه:

یك فراكتال: درهر اندازه ای، وبا هر مقیاسی، مشابه مقیاسهای دیگر به نظر می رسد. (کل شکل از اجزایی مشابه شکل اول تشکیل شده است.)
به این خاصیت خود همانندی می گویند

مثلا درمثلث سرپینسکی مثلث بزرگ از مجموعه ای مثلثهای همسان به وجود آمده است. این یکی ازخصوصیات زیبای فراکتالهاست که همزمان از سوی طبیعت و فناوری به کار گرفته شده است.اگر تا به حال به یک برگ سرخس نگاه کرده باشید، می توانید متوجه تشابه اجزای مختلف آن شوید. ساختار کل ساقه همانند یک برگ و ساختار یک برگ همانند یک جزو کوچک آن است.
اگر فرصت کردید نگاهی هم به سواحل دریاها یا تصاویر هوایی کوهستان ها و گیاهان اطرافتان بیندازید،بسرعت درخواهید یافت که در جهانی آشوب زده احاطه شده اید. اگر هنوز از این موجودات ساده و در عین حال پیچیده هیجان زده نشده اید، این نکته را هم بشنوید.این اجسام نه یک بعدی اند، نه دو بعدی و نه سه بعدی.
این ها ابعادی کسری دارند. فراکتالها دقیقا به دلیل همین خاصیت ویژه ای که دارند، زمانی توانستند روشی برای ذخیره سازی تصاویر ارائه دهند. معمولا زمانی که یک تصویر گرافیکی قرار است به شکل یک فایل تصویری ذخیره شود، باید مشخصات هرنقطه از آن (شامل محل قرار گیری پیکسل و رنگ آن به صورت داده هایی عدی ذخیره شود و زمانی که یک مرور گر بخواهد این فایل را برای شما به تصویر بکشد و نمایش دهد، باید بتواند این کدهای عدی را به ویژگیهای گرافیکی تبدیل کند و آن را به نمایش بگذارد. مشکلی که در این کار وجود دارد، حجم بالایی از داده ها ست که باید از سوی نرم افزار ضبط کننده و تولید کننده بررسی شود.
اگر بخواهیم تصویر نهایی ما کیفیتی عالی داشته باشد،نیازمند آنیم که اطلاعات هریک از نقاط تشکیل دهنده تصاویر را با دقت بالایی مشخص و ثبت کنیم و این حجم بسیار بالایی از حافظه را به خود اختصاص می دهد، به همین دلیل ، روشهایی برای فشرده سازی تصویر ارائه می شود.
اگر نگاهی به فایلهایی که با پسوندهای مختلف ضبط شده اند، بیندازید متوجه تفاوت فاحش حجم آنها می شوید. برخی از این فرمتها با پذیرفتن افت کیفیت بین تصویر تولیدی و آنچه آنها ذخیره می کنند، عملا این امکان را در اختیار مردم قرار می دهند، که بتوانند فایلها و تصاویر خود را روی فلاپی ها و با حجم کمتر ذخیره کنند یا روی اینترنت قرار دهند.
برای این فشرده سازی از روشهای مختفی استفاده می شود. درواقع در این فشرده سازی ها بر اساس برخی الگوریتم های کار آمد اشکال فراکتالی سعی می شود به جای ضبط تمام داده های یک پیکسل مشخصات اساسی از یک ناحیه ذخیره شود، که هنگام باز سازی تصویر نقشی اساسی تر را ایفا می کنند.
در اینجاست که روش فراکتالی اهمیت خود را نشان می داد. در یکی از روشهایی که در این باره مطرح شد و با استقبال بسیار خوبی از سوی طراحان مواجه شد، روش استفاده از خاصیت الگوهای فراکتالی بود. در این روش از این ویژگی اصلی فراکتالها استفاده می شد که جزیی از یک تصویر در کل آن تکرار می شود.برای درک بهتر به یک مثال نگاهی بیندازیم. فرض کنید تصویری از یک برگ سرخس تهیه کرده اید و قصد ذخیره کردن آن را دارید.
همان طور که قبلا هم اشاره شد، این برگ ساختاری کاملا فراکتالی دارد؛ یعنی اجزای کوچک تشکیل دهنده در ساختار بزرگ تکرار می شود.
بخشی از یک برگ کوچک ،برگ را می سازد و کنار هم قرار گرفتن برگها ساقه اصلی را تشکیل می دهد. اگر بخواهیم تصویر این برگ را به روش عادی ذخیره کنیم ، باید مشخصات میلیون ها نقطه این برگ را دانه به دانه ثبت کنیم ، اما راه دیگری هم وجود دارد. بیایید و مشخصات تنها یکی از دانه های اصلی را ضبط کنید. در این هنگام با اضافه کردن چند عملگر ریاضی ساده بقیه برگ را می توانید تولید کنید.
در واقع ، با در اختیار داشتن این بلوک ساختمانی و اعمال عملگرهایی چون دوران حول محورهای مختلف ، بزرگ کردن یا کوچک کردن و انتقال می توان حجم تصویر ذخیره شده را به طور قابل توجهی کاهش داد.
در این روش نرم افزار نمایشگر شما هنگامی که می خواهد تصویر را بازسازی کند، باید ابتدا بلوک کوچک را شبیه سازی کرده ، سپس عملگرهای ریاضی را روی آن اعمال کند، تا نتیجه نهایی حاصل شود.
به نظر می رسد این روش می تواند حجم نهایی را به شکل قابل ملاحظه ای کاهش دهد، اما تنها یک مشکل کوچک وجود دارد و آن هم این نکته است که همه اشیای اطراف ما برگ سرخس نیستند و بنابراین الگوهای تکرار در آنها همیشه اینقدر آشکار نیست.
بنابراین باید روشی بتواند الگوهای فراکتالی حاضر در یک تصویر را شناسایی کنند و در صورت امکان آن را اعمال کند.
به همین دلیل ، معمولا روش فراکتالی با روشهای فشرده سازی دیگر همزمان به کار برده می شود؛ یعنی اگر الگوهای تکرار چندان پررنگ نبودند، بازهم فشرده سازی امکانپذیر باشدالبته زیاد نگران ناکارامدی این روش نباشید. یادتان نرود، شما در جهانی زندگی می کنید که براساس یافته جدید ساختاری آشوبناک دارد.
مطمئن باشید هندسه فراکتال بر بسیاری از اشکال عالم حاکم است ؛ حتی اگر در نگاه اول چندان آشکا ر نباشد.

آرایش تكرار شونده

فراكتال ها اغلب با مراحل تكراری ایجاد می شوند.برای ساخت یك فراكتال:

یك شكل هندسی مثل یك خط یا مثلث را در بگیرید و روی شكل مورد نظر عملیاتی انجام دهید،‌حال شكلی پیچیده تر از شكل اولیه دارید.

همان عملیات را روی شكل جدید انجام دهید، اینبار شكلی پیچیده تر از قبل دارید.

باز همان عملیات را تكرار كنید و الی آخر. به نظر می رسد می توان تا بی نهایت ادامه داد.

هر عملیات تكرار شونده روی اشكال، منجر به پیدایش فراكتال ها نمی شود. مثلاً یك خط را بخش بخش كنید و تا بی نهایت این كار را ادامه دهید،‌یك فراكتال ایجاد نخواهد شد.

در ادامه، مراحل تكرار در یك فراكتال را برسی می كنیم:

بخشی از یك خط را در نظر بگیرید و یك سوم میانی آن را خارج سازید.آنچه باقی مانده یك خط است با یك فضای خالی میانی

این كار را تكرار كنید یعنی یك سوم میانی بخش های باقی مانده خط را خارج سازید. حال تصور كنید این كار را تا بی نهایت انجام می دهید. آنچه حاصل می شود فراكتال معروفی به نام " غبار كانتور" است.

تولید اشکال فراکتالی :

اشکال فراکتالی معمولا به کمک توابع بازگشتی تولید می شوند.مثلا تابع بازگشتی f(n)=f(n)*f(n)+c یا f(n)=f(n)^2+c یک تابع فراکتال است. این معادله ی به خصوص یک فراکتال معروف ، موسوم به مجموعه ی جولیا را تشکیل می دهد

در این معادله c یک عدد مختلط (شامل یک عدد موهومی) است که می تواند هر مقداری باشد و نتیجه ی آن یک مجموعه ی جولیای متفاوت باشد. n به جای مختصات نقطه قرار می گیرد

این موضوع را در نظر داشته باشید زیرا به زودی به آن باز می گردیم . این مختصات ویژه هستند زیرا همان طور که حدس زدید اعداد موهومی را در بر می گیرند.هنگامی که این مختصات

(x,y) هستند ، در هندسه ی فراکتال به صورت x+iy نشان داده می شوند . به عبارت دیگر ، x

مقداری ثابت و y یک عدد موهومی است . همان طور که در مبحث اعداد مختلط مشاهده کردید، محور x نشان دهنده ی اعداد حقیقی و محور y نشان دهنده ی اعداد موهومی است .

حال به تابع فراکتال بر می گردیم . از مختصات (x+iy) به جای n استفاده می کنیم . حالا می پرسید که این تابع چه طور نمودارهای بزرگ فراکتال را می سازد . بسیار خوب ، نتیجه ی یک تابع ، به جای این که یک خط شود ، تنها یک نقطه را نمایش می دهد ـ که اگر ما به تعریف یک نقطه نگاه کنیم ، می تواند بی نهایت کوچک باشد ـ که بیان می کند چه طور می توانیم یک قسمت از یک فراکتال را بزرگ کرده و به فراکتال جدید کاملی برسیم . نقطه در مختصات n قرار دارد . البته فراکتال ها بسیار رنگارنگ هستند. حالا این رنگ ها چه طور انتخاب می شوند؟ مثل هر چیز دیگر ، نسبتاً ساده است . ابتدا لازم است که یک نقطه را رنگ کنید ، بیایید نقطه (2+1i)

را در نظر بگیریم . برای مقدار c از (1+1i) استفاده می کنیم . به خاطر آورید که c می تواند

(a روی نمودار قرار نمی گیرد (مثال : در یک نمودار10*10 مؤلفه های جدیدی که به دست می آیند(97 ، 234-) هستند)

(b هرگز نمودار را ترک نمی کند(این قانون بعد از 200 بار تکرار ، اگر نقطه باز هم روی نمودار باشد ، صادق است.)

نحََوه ی انتخاب رنگ به این صورت است کهاگر نقطه بعد از یک بار تکرار نمودار را ترک کند ، یک رنگ به آن نسبت می دهیم . هرنقطه بعد از آن ، که بعد از یک تکرار نمودار را ترک کند ، همان رنگ را دارد . تمامنقاطی که بعد از 2 تکرار نمودار را ترک می کنند ، با یک رنگ مشخص نشان داده می شوندو هر نقطه ای که نمودار را هرگز ترک نکند با رنگ متمایز معمولاً سیاه علامت گذاریمی شود . بعد از انجام این فرایند ، برای تمام نقاط داخل این صفحه ، نتیجه ای نظیراین مجموعه ی جولیا می شود .

تابع f(x)=f(x-1)^2+c فراکتال دیگری را موسوم به مجموعه ی مندلبرات می سازد.

همان طور که می بینید ، دربسیاری از حالات ، 200 تکرار لازم است تا تنها یک نقطهتعیین

شود . در اغلب کامپیوترها اشکال فراکتالی ،معمولاً تعداد نقاط برای یک فراکتال 303,200 تاست . بههمین

دلیل است که برای محاسبه یعملیات زیاد و دقت انجام آن ها به کامپیوتر نیاز داریم.

فراکتال ها تصویری از یک زندگی واقعیدارند . کامپیوترها می توانند یک شکل واقعی را بگیرند و با انجام تکرار زیاد به آنشکل تخیلی بدهند . یک معادله ی فراکتال می توان ساخت که ََکنند.

این روزها از فراکتالها به عنوان یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه اینام می برند، اما هنگام پیدایش این مفهوم جدید بیشترین نقش را در فشرده سازیفایلهای تصویری بازی کردند.

این ها مختصات جدید ما هستند . به یاد آورید که اگر یک مجموعه از مختصات را در یک تابع قرار دهید ، نتیجه یک مجموعه ی جدید از مختصات است . 4+5i مجموعه ی مختصات جدید است . هنوز کار تمام نشده است ، عمل بالا یک تکرار را نشان می دهد .

فیزیک _اختر فیزیک _دیرین شناسی و تکامل

وبلاگی برای اشتراک گذاری مقالات و سخنرانی های بنده تحت عنوان وبلاگ

فرکتالها و هندسه برخالی

بَرخال [۱] یا فرکتال ، یا فراکتال (Fractal) ساختاری هندسی است که با بزرگ کردن هر بخش از این ساختار به نسبت معین، همان ساختار نخستین به دست آید. به گفتاری دیگر برخال ساختاری است که هر بخش از آن با کل‌اش همانند است. برخال از دور و نزدیک یکسان دیده می‌شود. به این ویژگی خودهمانندی گویند. [۱]

فرکتال fractal از واژه لاتین fractus یا fractum به معنی شکسته گرفت شده است که بیانگر یکی از شناسه‌های اصلی برخال -بخش‌‌شدنی- است. واژه فرکتال به معنای سنگی است که به گونه نامنظم شکسته شده باشد.

پیشنهاد فرهنگستان زبان فارسی

فرهنگستان زبان فارسی واژه برخال را برگزید که از واژه برخ به معنی بخش و پسوند -ال (مانند چنگال) پدید آمده‌است و با واژه فراکتال هم‌‌چم (هم‌معنی) است. [۱]

واژه فرکتال در سال ۱۹۷۶ توسط ریاضیدان فرانسوی به نام بنوا مندلبرو وارد دنیای ریاضی شد. . مندل برات هنگامی که پیرامون طول سواحل انگلیس می پژوهید دریافت که هرگاه با مقیاس بزرگ این طول اندازه گرفته شود کمتر از زمانی است که مقیاس کوچک تر باشد.

ویژگی ریختهای برخال

• بسیار دور از پیش بینی است.
• فرگشت (تکامل) هم‌زمان دارد.
• دارای جایگزینی بهینه است.
• ریشه در قوانین ساده دارد.
• در شکل‌گیری گونه از تکرار بهره‌می‌جوید.
• سامانه‌ای تو در تو است.
• ریختهای اقلیدسی با استفاده از توابع ایستا ساخته می‌شوند ولی ریختهای برخال با فرایندهای پویا ساخته می‌شوند. فرایندهای پویا، فرایندهایی هستند که دارای حافظه می‌باشند و رفتار آنها به گذشته بستگی دارد.
• دارای ویژگی خود همانندی است.
• هر فرایند تکراری و پویا باعث ایجاد ساختارهای پیچیده برخال نمی‌شود. سازوکار فرآوری چنین ساختارهای پویایی، آشوب است. در حقیقت، برخال نگاره‌ای ریاضی از آشوب است.

هندسه برخال

برخال از دید هندسی به چیزی گویند که دارای سه ویژگی زیر باشد:

• دارای ویژگی خود‌همانندی باشد یا به انگلیسی self-similar باشد.
• در مقیاس خرد بسیار پیچیده باشد.
• بعد آن یک عدد صحیح نباشد مثلاً ۱٫۵

محاسبه بعد برخال‌ها

بعد خط یک، بعد صفحه دو و بعد فضا سه است. برخال‌ها برخلاف همهٔ اینها بعد صحیح ندارند. برای نمونه بعد یک برخال‌ می‌تواند ۱٫۲ باشد که بدین چم از خط پیچیده‌تر و از صفحه سادتر است. بعد برخال‌ها از یک سری فرمول‌های لگاریتمی بدست می‌آیند.

این سیستم که دارای علامت اختصاری IFS - Iterated Function System - است، سیستم تکرار را مطرح می‌کند که به نوعی پایهٔ هندسه فرکتال است. تکرار یکی از راه‌های ایجاد فرم در معماری است اما در فرکتال این فرم بایستی دارای مشخصات هندسی که در قسمت هندسه فرکتال مطرح شد را دارا باشد. به طور کلی این تکرار می‌تواند از کنار هم قرار گرفتن یک شیء بدست آید و یا اینکه یک موضوع نسبت به موضوع دیگر و به طور متوالی کوچک شود.

شیئی را دارای خاصیت خود متشابهی می‌گوییم که هر گاه قسمت‌هایی از آن با یک مقیاس معلوم، یک نمونه از کل شیئی باشد. ساده‌ترین مثال برای یک شیئ خود متشابه در طبیعت گل کلم است که هر قطعهٔ کوچک گل کلم متشابه قطعه بزرگی از آن است. همین‌طور درخت کاج یک شیئ خود متشابه است، چرا که هر یک از شاخه‌های آن اشکال فراکتالی خیلی شبیه یک درخت کاج است ولی در مقیاس بسیار کوچکتر. همچنین در مورد برگ سرخس نیز چنین خاصیتی وجود دارد.

رشته کوه‌ها، پشته‌های ابر، مسیر رودخانه‌ها و خطوط ساحلی نیز همگی مثالهایی از یک ساختمان خود متشابه هستند. فراکتال شکل هندسی پیچیده است که دارای جزییات مشابه در ساختار خود در مقیاسهای متفاوت می‌باشد و بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک اندازه است.

جسم فراکتال از دور و نزدیک یکسان دیده می‌شود. مثلاً وقتی به یک کوه نگاه می‌کنیم شکلی شبیه به یک مخروط می‌بینیم که روی آن مخروطهای کوچکتر و بی نظمی دیده می‌شود ولی وقتی نزدیک می‌شویم همین مخروطهای کوچک شبیه کوه هستند و یا شاخه‌های یک درخت شبیه خود درخت هستند. البته در طبیعت نمونه‌های اجسام فراکتال فراوان است مثلاً ابرها -رودها -سرخس‌ها و حتی گل کلم از اجسام فراکتال است؛ و اگر به ساخته‌های دست بشر هم نگاه کنیم تراشه‌های سیلیکان و یا مثلث سرپینسکی نیز فراکتال هستند؛ و در معماری همیشه نباید نیاز بشر را هندسه اقلیدسی تأمین کند. گسترش شهرها نمونه آشکاری از فراکتال است.

این فرم‌ها که به صورت طبیعی وجود دارند دارای ساختاری خود متشابه هستند حتی اشکال فراکتالی در مقیاس میکروسکپی یک‌دانه برف دارای فرمی خود متشابه است.

مجموعه‌های مندلبرو دارای پیچیدگی خاصی هستند. زمانی که یک فرم حالتی پیچیده پیدا می‌کند و یا به عبارت دیگر به عناصر خرد تشکیل دهنده کل می‌رسد، فرم‌هایی بسیار پیچیده اما در عین حال منظمی را به ما می‌دهد که در اشکال زیر و نمونه‌های پیش فرض و آماده در فرکتال اکسپلورر گذاشته شده است.

برخال در مناظر طبیعی

این فرم‌ها همان‌طور که از اسم آنها پیداست دارای فرمی طبیعی هستند (عدم دستبرد دست بشر). شاید بسیار در عکاسی معماری (برای عکس از یک سوژه) به یک منظره برخورد کرده باشید که در دوردست تپه‌ها و کوه‌ها دیده می‌شوند، بد نیست بدانید که خود این منظره دارای فرمی فرکتال با هندسه فرکتال قابل حل است.

الگوهای رویش برخالی

ایده خود متشابه در اصل توسط لایبنیتس بسط داده شد. او حتی بسیاری از جزئیات را حل کرد. در سال ۱۸۷۲ کارل وایرشتراس مثالی از تابعی را پیدا کرد با ویژگیهای غیر بصری که در همه جا پیوستهبود ولی در هر جا مشتق پذیر نبود. گراف این تابع اکنون برخال نامیده می‌شود. در سال ۱۹۰۴ هلگه فون کخ به همراه خلاصه‌ای از تعریف تحلیلی وایرشتراس، تعریف هندسی‌تری از تابع متشابه ارائه داد که حالا به برفدانه کخ معروف است. در سال ۱۹۱۵ واکلو سرپینسکی مثلثش را و سال بعد فرش‌اش (برخالی) را ساخت. ایده منحنیهای خود متشابه توسط پاول پیر لوی مطرح شد او در مقاله اش در سال ۱۹۳۸ با عنوان «سطح یا منحنیهای فضایی و سطوحی شامل بخش‌های متشابه نسبت به کل» منحنی برخالی جدیدی را توصیف کرد منحنی لوی c. گئورگ کانتور مثالی از زیرمجموعه‌های خط حقیقی با ویژگیهای معمول ارائه داد. این مجموعه‌های کانتور اکنون به‌عنوان برخال شناخته می‌شوند. اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم توابع تکرار شونده در سطح پیچیده توسط هانری پوانکاره، فلیکس کلاین، پیر فاتو و گاستون جولیا شناخته شده بودند. با این وجود بدون کمک گرافیک رایانه‌ای آنها نسبت به نمایش زیبایی بسیاری از اشیایی که کشف کرده بودند، فاقد معنی بودند. در سال ۱۹۶۰ بنوا مندلبروتحقیقاتی را در شناخت خودهمانندی طی مقاله‌ای با عنوان «طول ساحل بریتانیا چقدر است؟ خود متشابه‌ای آماری و بعد کسری» آغاز کرد. این کارها بر اساس کارهای پیشین ریچاردسون استوار بود. در سال ۱۹۷۵ مندلبرو برای مشخص کردن شئی که بعد هاوسدورف-بیسکویچ آن بزرگ‌تر از بعد توپولوژیک آن است کلمه «فراکتال» (برخال) را ابداع کرد. او این تعریف ریاضی را از طریق شبیه‌سازی خاص رایانه‌ای تشریح کرد.

برخال‌ها از نظر روش مطالعه به برخالهای جبری و بر خالهای احتمالاتی تقسیم می‌شوند. از طرف دیگر برخال‌ها یا خودهمانند اند self similarity یا خودناهمگرد self affinity هستند. در خودهمانندی، شکل جزء شباهت محسوسی به شکل کل دارد. این جزء، در همه جهات به نسبت ثابتی رشد می‌کند و کل را به وجود می‌آورد. اما در خودناهمگردی شکل جزء در همه جهات به نسبت ثابتی رشد نمی‌کند. مثلاً در مورد رودخانه‌ها و حوضه‌های آبریز بعد برخالی طولی متفاوت از بعد برخالی عرضی است Vx = ۰. ۷۲–۰. ۷۴ و Vy = ۰. ۵۱–۰. ۵۲ (ساپوژنیکوف و فوفولا، ۱۹۹۳) از این‌رو شکل حوضه آبریز کشیده‌تر از زیر حوضه‌های درون حوضه‌است. به خودهمانندی همسانگرد isotropy می‌گویند. به خود ناهمگردی ناهمسانگرد anisotropy می‌گویند.

طبقه‌بندی

برخال‌ها همچنین بر اساس خود همانندی طبقه‌بندی می‌شوند. سه نوع خود همانندی وجود دارد:

• خود همانندی دقیق – این قوی‌ترین نوع خود همانندی است.

گسترش رو به رشد رویکرد تک‌برخالی (مونوفراکتالی) اخیر، داده‌ها را با مجموعه برخالی، بجای بعد منفرد برخالی توصیف می‌کند. این مجموعه طیف چندبرخالی multifractal spectrum نامیده می‌شود و روش توصیف تغییرپذیری بر اساس طیف‌سنجی چندبرخالی به آنالیز چندبرخالی معروف است (فریش و پاریسی، ۱۹۸۵). روش چند برخالی به اندازه خودهمانندی آماری دلالت دارد که می‌تواند به صورت ترکیبی از مجموعه‌های به‌هم‌ تنیده برخالی [۲] مطابق با نمای مقیاس گذاری نمایش داده شود. ترکیبی از همه مجموعه‌های برخالی طیف چند برخالی‌ای را ایجاد می‌کند که تغییرپذیری و ناهمگنی متغیر مورد مطالعه را مشخص می‌کند. مزیت رویکرد چند برخالی این است که پارامترهای چندبرخالی می‌توانند مستقل از اندازه موضوع مورد مطالعه باشند. [۳]

کاربردها

از برخال‌ها به منظور آسان‌سازی در کارهای وابسته به مدل‌سازی پیچیدگی در زمینه‌های گوناگونعلمی و مهندسی استفاده می‌شود. از زمینه‌های مهم کاربردی گزینه‌های زیر را می‌توان برشمرد:

رابطه برخال و معماری

انسانها در روزگار قدیم در طبیعت می‌زیستند و مانند انسان دوره نوین، با طبیعت بیگانه نبودند، به این رو معماریشان با نظم طبیعت بود. آنها به این فرنود که در طبیعت رشد می‌یافتند، ضمیر ناخودآگاهشان نیز با نظم طبیعت- یعنی با نظم برخال- رشد میافت، در نتیجه ساخته‌هایشان نیز دارای نظم برخال می‌بود.

مطالعه هندسه باید به طراح کمک کند که به درک بهتری از جریان ریزگان (جزئیات) در پیرامون ما و جهان طبیعی دست یابد. ویژگی‌های برخالی یک آمیزه معماری در پیوستگی زنجیروار ریزگان است. این پیوستگی زنجیروار برای جذابیت معماری لازم است. هنگامی که تنومی (شخصی) به یک ساختمان نزدیک و سپس به آن وارد می‌شود همیشه باید مقیاس کوچکتر دیگری همراه با ریزگان جذاب وجود داشته باشد تا معنای کلی آمیزه را بیان کند که این یک ایده برخال است. [۱] [۴] [۵]

برخال و هنر

در هنر دوران‌های مختلف ساختارها و گونه‌ها و حتی نقاشی‌های گوناگونی را از برخال می‌بینیم. در این زمینه به ذکر ۲ نمونه بسنده می‌کنیم.

• برخال در هنر آفریقا
• برخال را در آثار نقاشانی چون جکسون پولاک و لاری پونز
• فرکتالی نسبت شاخص آماری پیچیدگی که در یک الگو (به طور صریح، الگوی فراکتال ) چگونه تغییرات طی بزرگ‌شدن تغییر می‌یابد.

مندل بروت وقتی که بر روی تحقیقی پیرامون طول سواحل انگلیس مطالعه می‌کرد به این نتیجه رسید که هرگاه در مقیاس بزرگ این طول اندازه گرفته شود بیشتر از زمانی است که در مقیاس کوچکتر باشد. این بی‌نظمی ایجاد شده باعث ایجاد شاخه ریاضی نظریه بی‌نظمی به نام فرکتال گردید. این واژه برای اولین بار در سال ۱۹۷۵ توسط ریاضیدان لهستانی، بنوت مندل بروت مطرح گردید. واژه فرکتال (fractal) مشتق ازواژه لاتینی فرکتوس fractus یا fractura به معنی سنگی که به شکل نامنظم شکسته وخرد شده، می‌باشد. فرهنگستان لغت و زبان فارسی کلمه برخال را برای فرکتال تصویب کرده‌است. فرکتال‌ها اشکالی اند که بر خلاف اشکال هندسی اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند. این شکل‌ها اولاً سر تاسر نامنظم اند و ثانیاً میزان بی نظمی آنها در همه مقیاسها یکسان است. مندل بروت در توضیح نظریه خود با انتخاب اصطلاح فرکتال بر یکی از مشخصه‌های اصلی این فرم هندسی که ناشی از ماهیت قطعه، قطعه شوندگی است، تأکید نموده است. به اعتقاد او، جهان هستی و تمامی پدیده‌های طبیعی به نوعی فرکتال می‌باشند. اواعلام کرده که ابرها به صورت کره نیستند، کوه‌ها همانند مخروط نمی‌باشند، سواحل دریا دایره شکل نیستند، پوست درخت صاف نیست و صاعقه بصورت خط مستقیم حرکت نمی‌کند. با مشاهده اشکال موجود در طبیعت، مشخص می‌شود که هندسه اقلیدسی قادر به تبیین و تشریح اشکال پیچیده و ظاهراً بی نظم طبیعی نیست. هندسهٔ اقلیدسی (حجم‌ها کامل کره‌ها، هرم‌ها، مکعب‌ها واستوانه‌ها) بهترین راه نشان دادن عناصر طبیعی نیستند. ابرها، کوه‌ها، خط ساحلی و تنهٔ درختان همه با حجم‌ها اقلیدسی در تضاد هستند و نه صاف بلکه ناهموار هستند و این بی نظمی را در مقیاس‌های کوچک نیز به ارمغان می‌آورند که یکی ازمهمترین خصوصیات فراکتال‌ها همین است. این بدین معناست که هندسهٔ فراکتال بر خلاف هندسهٔ اقلیدسی روش بهتری برای توضیح و ایجاد پدیده‌هایی همانند طبیعت است. زبانی که این هندسه به وسیلهٔ آن بیان می‌شود الگوریتم نام دارد که با اشیا مرکب می‌توانند به فرمولها و قوانین ساده‌تری ترجمه و خلاصه شوند. فرکتال‌ها انواع عناصری هستند که فرم فضایی آنها صاف نیست؛ بنابراین «نامرتب» نیز نامیده شده‌اند و این نامنظمی درآنها به طور هندسی و در راستای مقیاس‌های گوناگون در داخل هرم تکرار می‌گردد. هر چیز طبیعی در اطراف ما در اصل نوعی فرکتال است. به این سبب که خطوط صاف و پلانها فقط در دنیای ایده‌آل ریاضی وجود دارد. در کنار این تئوری هر سیستم که بتواند به صورت هندسی متصور و تحلیل شود می‌تواند یک فرکتال باشد. جهان در فرم فیزیک (مادی) کلی خود پر هرج و مرج، ناممتد و نامنظم است اما در پس این ذهنیت و گمان اولیه قانونی منسجم و باقی نهفته که مبتنی بر نظم و دارای ترکیبی واضح است. بهترین راه برای تعریف یک فرکتال توجه به صفتها و نشانه‌های آن است. یک فرکتال «نامنظم» است، بدان معنی که در آن هیچ قسمت صاف وجود ندارد. فرکتال «خود مشابه» است، بدین معنی که «اجزا» شبیه کل می‌باشند. جسم فرکتال از دور ونزدیک یکسان دیده می‌شود. به تعبییر دیگر خودمتشابه است. وقتی به یک جسم فرکتال نزدیک می‌شویم، تکه‌های کوچکی از آن که از دور همچون دانه هائی بی شکل تصور می‌گردید، بصورت جسمی مشخص با اشکالی کم و بیش همانند با تصویری که از دور دیده شده بنظر می‌رسد. در طبیعت نمونه‌های فراوانی از فرکتال‌ها وجود دارد. درختان، ابرها، کوه‌ها، رودها، لبه سواحل دریا، و گل کلم همه اجسام فرکتال هستند. بخش کوچکی از یک درخت که شاخه آن باشد شباهت به کل درخت دارد. این مثال را می‌توان در مورد ابرها، گل کلم، صاعقه و سایر اجسام فرکتال نیز عنوان نمود. بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نیز بصورت فرکتال می‌باشند. تراشه‌های سلیکان، منحنی نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها و بالاخره مثلث سرپینسکی را می‌توان در این مورد مثال زد. مثلث سرپینسکی یک مثلث متساوی الاضلاع است که نقاط وسط سرضلع آن به یکدیگر متصل شده‌اند. اگر این عمل در داخل مثلث‌های متساوی الاضلاع جدید تا بی‌نهایت ادامه یابد، همواره مثلث‌هایی حاصل می‌شوند که مشابه مثلث اول هستند. در علم ریاضی فرکتال یک شکل مهندسی پیچیده است ودارای جزئیات مشابه در ساختار خود در هر مقیاسی است. میزان بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک میزان است.

در نهایت برای مقایسه اشکال فرکتال با اشکال اقلیدسی باید بدانیم:

- اشکال اقلیدسی با استفاده از توابع ایستا تولید می‌شوند حال آنکه اشکال فرکتال با فرایندی پویا بوجود می ایند. فرایندهای پویا دارای حافظه زمانی هستند و رفتار آنها با گذشته مربوط می‌گردد.

- اشکال فرکتال دارای خاصیت خودهمانندی است، طول این اشکال بی‌نهایت است اما در فضای محدود محصور شده‌اند.

- هندسه فرکتال دارای ساختارهائی با ظرفیت بالا است، درحالی که ظرفیت اشکال اقلیدسی بسیار محدود و حاوی اطلاعات تکراری است.

- هندسه فرکتال بیان ریاضی از معماری طبیعت است.

- مکانیزم ساختارهای فرکتالی بی نظمی است. در حقیفت فرکتال تصویر ریاضی از بی نظمی است.

همانگونه که قبلاً گفته شد فرکتال‌ها تصاویرهندسی چندجزیی هستندکه می‌توان آنها را به تکه هائی تقسیم نمود که هر تکه یک نسخه از کل تصویر باشد. بررسی فرکتال هاازنمای کلی مشتمل بر سه بخش می‌گردد:

از دید هندسی فرکتال به شیئی گفته می‌شوند که چهار ویژگی بارز زیر را دارا باشد:

معماری فراکتال

واژه فراکتال مشتق از واژه لاتینی فراکتوس، به معنی سنگی که به شکل نامنظم شکسته خرد شده است. در سال 1975 برای اولین بار توسط بنوت مندل بروت مطرح شد. فراکتال ها شکل هایی هستند که بر خلاف شکل های هندسی اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند . در معماری فراکتال این شکل ها اولاً سر تاسر نامنظم اند، ثانیاً میزان بی نظمی آنها در همه مقیاسها یکسان است. با ملاحظه اشکال موجود در طبیعت، مشخص می شود که هندسه اقلیدسی قادر به تبیین و تشریح اشکال پیچیده و ظاهراً بی نظم طبیعی نیست. مندل بروت در سال 1975 اعلام کرده که ابرها به صورت کره نیستند، کوهها همانند مخروط نمی باشند، سواحل دریا دایره شکل نیستند ،پوست درخت صاف نیست و صاعقه بصورت خط مستقیم حرکت نمی کند.

جسم فراکتال از دور ونزدیک یکسان دیده می شود. به تعبییر دیگر خودمتشابه است.وقتی که به یک جسم فراکتال نزدیک می شویم، می بینیم که تکه های کوچکی از آن که از دور همچون دانه ها بی شکلی به نظر می رسید، بصورت جسم مشخص در می آید اشکال فراکتالی که شکلش کم و بیش مثل همان شکلی است که از دور دیده می شود. در طبیعت نمونه های فراوانی از فراکتال ها دیده می شود. درختان ، ابرها، کوهها ،رودها، لبه سواحل دریا، و گل کلم ها اجسام فراکتال هستند بخش کوچکی از یک درخت که شاخه آن باشد شباهت به کل درخت دارد .

این مثال را می توان در مورد ابرها، گل کلم، صاعقه و سایر اجسام فراکتال عنوان نمود.

بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نیز بصورت فراکتال می باشند. تراشه های سلیکان، منحنی نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها و بالاخره مثلث سرپینسکی را می توان در این مورد مثال زد.

در علم ریاضی فراکتال یک شکل مهندسی است که پیچیده است ودارای جزئیات مشابه در ساختار خود در هر مقیاسی است.

میزان بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک میزان است. مثلث سرپینسکی یک مثلث متساوی الاضلاع است که نقاط وسط سرضلع آن به یکدیگر متصل شده اند. اگر این عمل در داخل مثلث های متساوی الاضلاع جدید تا بی نهایت ادامه یابد، همواره مثلث هایی حاصل می شوند که مشابه مثلث اول هستند.

فرم های شاخص در معماری فراکتال

هندسه ی اقلیدسی، احجام کامل کره ها و هرم ها و مکعب ها واستوانه ها ،بهترین راه نشان دادن عناصر طبیعی نیستند . ابرها و کوه ها و خط ساحلی و تنه ی درختان همه با احجام اقلیدسی در تضاد هستند و نه صاف بلکه ناهموار هستند و این بی نظمی را در مقیاس های کوچک نیز به ارمغان می آورند که یکی از مهمترین خصوصیات فراکتال ها همین است.

این بدین معناست که هندسه ی فراکتال بر خلاف هندسه ی اقلیدسی روش بهتری را برای توضیح و ایجاد پدیده هایی همانند طبیعت است .زبانی که این هندسه به وسیله ی آن بیان می شود الگوریتم نام دارد که با اشیا مرکب می توانند به فرمولها و قوانین ساده تری ترجمه و خلاصه شوند.

فرکتال از کلمه ی لاتین فراکتوس به معنی سنگی نامنظم شکسته و خرد شده است، گرفته شده است . اولین بار فرکتال را دکتر ماندلبروت طی نظریه ای که برای مسائل جهان هستی ارائه کرد و در این نظریه عنوان کرد که جهان هستی بعدی مابین 23/1-34/11 دارد و تمامی پدیده های طبیعی به نوعی فرکتالهایی می باشند در جهان هستی که برای ما ناشناخته اند.

رابطه معماری و فراکتال

مطالعه هندسه باید به طراح کمک کند به درك بهتری از جریان جزئیات در پیرامون ما و جهان طبیعی دست یابد.

خصوصیت فراکتالی یک ترکیب معماری در تسلسل جالب جزئیات است. این تسلسل برای حفظ جذابیت معماری لازم است. هنگامی که شخص به یک ساختمان نزدیک و سپس به آن وارد می شود همیشه باید مقیاس کوچکتر دیگری همراه با جزئیات جذاب وجود داشته باشد تا معنای کلی ترکیب را بیان کند که این یک ایده فراکتال است.

انسانها در روزگار قدیم که در طبیعت می زیستند و مانند انسان دوره مدرن , با طبیعت بیگانه نبودند , معماریشان با نظم طبیعت بود. آنها به این دلیل که در طبیعت رشد میافتند , ضمیر ناخودآگاهشان نیز با نظم طبیعت- یعنی با نظم فراکتال- رشد میافت , در نتیجه مصنوعاتش نیز دارای نطم فراکتال می بود.

فراکتال در معماری معاصر

به دنبال بیگانگی انسان معاصر با طبیعت و دور شدن ساخته هایش از تشابه با ساختارهای طبیعت , معماران معاصر به دنبال نمود دادن ساختار فراکتال طبیعت در آثارشان هستند. هر چند که این هنوز آغاز راه است ولی ارتباطی جدیدی در زمینه طبیعت و معماری معاصر را نشان میدهد. ارتباطی که انسان مدرن آن را فراموش کرده بود.

دوره کلاسیك

در این دوره با الهام گرفتن از طبیعت در معماری به خلق آثار هنری پرداخته شده است.جورج هرسی استاد تاریخ هنر دانشگاه ِیِیِل پلان برامانته برای سان پیترو) 1506( را دارای ویژگی های فراکتالی می داند. بنا بر توضیح کتب راهنما طرح این بنا به شکل صلیب یونانی است که گنبد متقاطع آن به صورت قرینه با گنبدهای فرعی واقع شده است. قرینگی فضاهای داخلی و گوسه های بازوهای متقاطع صلیب در چهار طرف دارای فرورفتگی هایی است که در کنار هم مکعب اصلی بدنه کلیسا را شکل می دهند. بازوهای این صلیب کوچکتر نیز خود شامل فرورفتگی های کوچکتر است . به گفته هرسی پلان برامانته را می توان فراکتال خواند چون حالت تکرار در مقیاس های مختلف آن دیده می شود . جورجیو پلانی مشابه با چهار طبقه و تکرار گنبدها برای سان پیترو طراحی کرد.

معماری فراکتال حاصل به هم رسیدن و ترکیب اصول معماری ارگانیک رایت و آرزوهای براون شیلز برای توسعه ی اشکالی در معماری است و گسترش علم فراکتال طی پنجاه سال اخیر در اغلب اجزاء و قسمتهای معماری دیده می شود.

در نماها فراکتال با تکرار فرمهای اولیه و اصلی در یک ناحیه ایجاد شده و با امکان چرخش و قرینگی و جابجایی خطی آنها در عرض نما تکثیر می شود. از نظر فرمهای ساختمانی نیز معماری فراکتال از جابجایی و تکثیر قطعه اصلی و اولیه به صورت عناصری مشخص و عملیات چرخش فراکتالی و اشل بندی و جابجایی خطی شکل می گیرد. این عناصر به یکدیگر متصل شده و به عنوان دومین مرحله ی ترکیب،مطابق همان جابجایی ها و اصول مجددا تکرار می شود و پروسه تا بی نهایت ادامه میابد.

معماری فراکتال مدرن

چارلز جنکس در کتاب پارادایم جدید در معماری،هفت پارادیم و به قولی هفت گرایش معماری معاصر را بیان می کند که به عقیده ی او این هفت گرایش،هر کدام بخشی از پارادایم بزرگ جهان امروز را تشکیل می دهند.هفت پارادایم او عبارتند از:پیچیدگی،الهام از فرمهای طبیعی،الهام ار ساختارها و داده های محیط مصنوعی و کلانشهرها،به کار گیری اشکال حبابی و قطره ای،بهره گیری از نشانه ها و فرمهای بومی،استفاده از شمایل مربوط به کیهان شناسی نو و در نهایت ختق فرمهای مبهمی که می توانند به صورت های مختلف تعبیر شوند. به عقیده او پارادایم جدید شامل بناهای ساختار شکن می شود که موزه گوگنهایم در بیلبائوی اسپانیا،اثر فرانک گه ری،نمونه خوب آن است و از سویی پروژهای ساخته نشده ی معمارانی چون پیتر آیزنمن و دانیل لیبسکیند،زاها حدید و یا دیگر معماران اروپایی را در بر می گیرد.

فراکتال؛ محیط های انسان ساخت

نظم و به انتظام در آوردن شهر در پی این تئوری که اساساً پدیده ها تابع نظم هایی قابل شناسایی هستند همواره برای بشر مطرح بوده است ) شاید بتوان میزان آن را ومیزان نظم دهی شخص مدارانه و رویا مدارانه را به میزان ایدئولوژیک بودن شخصی مرتبط بدانیم( اما اینکه شکل این نظم چیست کاملا در پس تئوری هایی اصولی تر، شکل هایی متفاوت در طول تاریخ داشته است از تقارن محوری و از ارزش خود محور) باروك( گرفته تا شکل های رنسانسی) آرمانی ( برای شهر. البته استفاده از مصالح مختلفه، ارتباط میان ساختمان ها و … همه با مفهوم نظم ارتباطی گسست ناپذیر دارد. از این میان طراحی شهری و برنامه ریزی شهری هم به دنبال کشف نظم و هم به دنبال ایجاد آن بوده است ) آنهنگام که نظم دهی را به هر دلیل موجه دانست و کارایی را در آن می جست(. اما شکست طرحهایی با نظم خود دیکته شده و غیر طبیعی ) در تضاد با آن ( و تحول در علوم دیگر به خصوص ریاضی در پبدا شدن تئوری آشوب بی گمان نقشی اساسی داشته است.

در مورد چیستی تئوری آشوب باید دانست که در فضایی واقعی که در آن منطق بولین) صفر و یک ( اساساً کامل به نظر نمی رسد ) انتزاعی است( از منطق فازی استفاده می شود ) فضای عدم اطمینان ( در این منطق گزاره هایی با ارزش میان 0 تا 1 تعیین می شوند.

هندسه فراکتالی ، نخست خود متشابه بودن و دوم دارا بودن بعدی با عدد غیر صحیح. با یک مثال شروع می کنیم: تصور کنید که شما صفحه ای فویلی در دست دارید، در ابتدا بعد این صفحه دو به نظر می آید. حال آن صفحه را مچاله کنید! پس از مچاله شدن آن بعد این فویل )که دیگر نه صفحه است و نه یک مکعب ( چند است ؟

به طور سنتی بعد نقطه 0 است بعد خط 1 و بعد صفحه 2 و یک حجم 3، اما اگر یک خط شکسته داشته باشیم این بعد چند است ؟ ) چیزی میان یک و دو ( در اینجا این عدد می توان میزان پیچیده بودن آن خط را نشان دهد . بعد چند نقطه کنار هم چیزی میان 1 و 2 تعریف می شود و بعد آن فویل چیزی میان 2 و 3 . ادعای بزرگان هندسه فراکتالی اینست که بعد کوهها هم همواره نه دو و نه سه است) یعنی چیزی میان یک صفحه و یک حجم کامل است ( رودخانه را می توان مانند خطی پیچیده دانست و تقریبا تمامی الگوهای طبیعی از هندسه فرکتالی پیروی می کنند تا اقلیدسیی.

اما ویژگی دوم ! همان خط پیچیده را تصور کنید! این پیچیدگی اگر در یک مقیاس خاص) هر مقیاسی( از میان برود در واقع تعداد محدود و معدودی خط داریم ) با بعد 1 که به هم وصل شده اند( پس اگر ویژگی پیچیدگی را برای خط فرض کرده ایم باید مانند خط راست که در هر مقیاسی راست است در هر مقیاسی پیچیده باشد ) خود متشابهی ( البته از نظر تئوری این مقیاس ها را بی نهایت فرض می کنند اما عملا در طبیعت چند مقیاس محدود دارای یک بعد فرکتالی می باشدو به ساختار خود متشابه کلم و درخت کاج توجه کنید.

دقیقا چه رابطه ای میان فضای عدم اطمینان و هندسه فراکتالی وجود دارد؟در واقع هیچی به جز واقعیت. این واقعیت است که در آن فضای آشوب وجود دارد و این واقعیت طبیعت و همواره شهرهای سنتی است که الگویی فراکتال دارند.

البته شکل گیری این تئوری ها در عصری که با صفت پسا مدرن معرفی می شود بی دلیل نبوده است و اطمینان راسیونالیستی مدرن ها و شکست آن و شکسته شدن راوی کل از طرفی و توجه به طبیعت احتمالاً در این موضوع بی تاثیر نبوده است.

1. حدود دو دهه است که رابطه ای پیچیده ، متغیر و طولانی بین معماری و هندسه فراکتال وجود داشته است. در این زمان ریاضی دانان متوجه شده اند که معماری از هندسه فراکتالی تشکیل شده بسیار غیر عادی تر است و معماران بسیاری سعی نموده اند ، معماری مبنی بر هندسه فراکتال را از نظریه آشوب بدور نمایند.
2. همیشه تلفیق هنرهای مختلف با ریاضیات می تواند در جنبه های گوناگون زندگی انسانها نقش بزرگ و ارزشمندی داشته باشد .

معماری نیز خود از جمله هنر هایی است که رابطه مستقیم با ریاضیات دارد. همانگونه که در محاسبات ساختمان از ریاضی بهره می بریم می توان از ریاضی بگونه ای در حجم و فرم نیز استفاده های شگرف ببریم.